什么是因数?因数的分类详解

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什么叫?

如果数 a 能被 b b≠0) 整除,b 就叫作 a 的因数。

例如,20÷4=54×5=204 5 20 的因数;20 4 5 的倍数。

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什么叫作质因数?

每个合数都可以写成几个质数相乘的形式。其中每个质数都是这个合数的因数,叫作这个合数的质因数。

例如,42=2×3×7。因 237 都是质数,又是 42 的因数,所以 237 即是 42 的质因数。42=2×21,其中 21 不是质数,所以 21 不是 42 的质因数。

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质因数和互质数有什么区别?

质因数是一个质数对某个合数来说的,它首先必须是质数,其次应是某个合数的因数。例如 3 7 都是 21 的质因数。

互质数则是对两个数来说的,被称为互质数的两个数必存在公因数只有 1 这样特定的关系。例如 3 7 是互质数。

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什么叫作分解质因数?

把一个合数用质因数相乘的形式表示出来,叫作 分解质因数。

例如,48=2×2×2×2×3

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什么叫作公因数 (公约数)?

几个数公有的因数,叫作这几个数的公因数。在分数化简时,可称为公约数。

例如,12 的因数有 1、2、3、4、6、12;30 的因数有 1、2、3、5、6、10、15、30。两数的公因数是 1、2、3、6。

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什么叫作最大公因数?

几个数的公因数中最大的一个,叫作这几个数的最大公因数。

例如,1230,两数的公因数是 1236,最大公因数是 6

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如何找出最大公因数?

要找出最大公因数,至少有四种方法:分解质因数法;塔式分解法;短除法。其中,短除法最为常用和实用,一定要非常熟练地掌握。


例如,找出 24和36
的最大公因数。

1) 分解质因数法

分别找出24和36的因数,再找出24和36的最大公因数。

24 的因数:1234 ,681224 

36 的因数:1234, 9121836

从中知道,它们的公因数有:123412,其中最大公因数是 12

2) 塔式分解法

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从中知道,公因数 2×2×3=12,最大公因数是 12

(3) 短除法

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将除数相乘 2×2×3=12,即得最大公因数 12

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找出最大公因数 (最大公约数) 有何用途?

找出最大公因数,可应用于约分、化简整数比和解应用题等。


1) 约分

将分母与分子同时除以最大公因数 (最大公约数),即可得到最简分数。

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2) 化简整数比

将前项与后项同时除以最大公因数,即可得到最简整数比。

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3) 应用于解应用题
例题:一张长方形的图画纸,长
60 厘米,宽 40 厘米。如果要剪成若干同样大小的正方形而没有剩余,剪出的正方形的边长最大是几厘米?依此剪法,可剪成几个同样大小的正方形?

温馨提示:

此题考的是最大公因数。

解第一问:用短除法求最大公因数

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10×2=20 (厘米)


解第二问:
60×40÷20×20=2400÷400=6 (个)
答:剪出的正方形的边长最大是
20 厘米。依此剪法,可剪成 6 个同样大小的正方形。


变型题一:一张长方形的图画纸,长
60 厘米,宽 40 厘米。能剪成多少个边长为4 厘米的小正方形?

解:60×40÷4×4=2400÷16=150 (个)
答:能剪成
150 个边长为 4 厘米的小正方形。

温馨提示:

因长与宽都能被 4 整除,可列上式解答。


变型题二:一张长方形的图画纸,长
50 厘米,宽 40 厘米。能剪成多少个边长为 4 厘米的小正方形? (不可以拼接)

解:50÷4=12……2,余下一块图画纸:2×40=80 (平方厘米)

4×12×40÷4×4=1500衣16=120 (个)


答:能剪成
120 个边长为 4 厘米的小正方形。余下 80 平方厘米图画纸。

温馨提示:

因长不能被 4 整除,所以将余下一块图画纸。

如果可以拼接,又能剪成多少个边长为 4 厘米的小正方形?

解:50×40÷4×4=2000÷16=125 (个)
答:能剪成
125 个边长为 4 厘米的小正方形,其中 5 个小正方形经拼接而成。

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