幂函数图像,幂函数概念详解

1、幂函数的概念

一般地,函数高中数学:了解幂函数叫做幂函数,其中高中数学:了解幂函数是自变量,高中数学:了解幂函数是常数;其定义域是使高中数学:了解幂函数有意义的高中数学:了解幂函数值的集合。

例1:已知幂函数高中数学:了解幂函数,且当高中数学:了解幂函数高中数学:了解幂函数为减函数。求幂函数高中数学:了解幂函数的解析式。

思路分析:首先要正确理解幂函数的概念,然后理解幂函数的图象与性质。

解答过程:由于高中数学:了解幂函数为幂函数,

所以高中数学:了解幂函数,解得高中数学:了解幂函数,或高中数学:了解幂函数

高中数学:了解幂函数时,高中数学:了解幂函数高中数学:了解幂函数高中数学:了解幂函数上为减函数;

高中数学:了解幂函数时,高中数学:了解幂函数高中数学:了解幂函数高中数学:了解幂函数上为常函数,不合题意,舍去。

故所求幂函数高中数学:了解幂函数的解析式为高中数学:了解幂函数

解题后的思考:求幂函数的解析式,一般用待定系数法,弄明白幂函数的定义是解题的关键。

2、幂函数的图象和性质

图象:

高中数学:了解幂函数

性质:

高中数学:了解幂函数

高中数学:了解幂函数

高中数学:了解幂函数

高中数学:了解幂函数

高中数学:了解幂函数

定义域

高中数学:了解幂函数

高中数学:了解幂函数

高中数学:了解幂函数

高中数学:了解幂函数

高中数学:了解幂函数

值域

高中数学:了解幂函数

高中数学:了解幂函数

高中数学:了解幂函数

高中数学:了解幂函数

高中数学:了解幂函数

奇偶性

非奇非偶

单调性

高中数学:了解幂函数上增

高中数学:了解幂函数上减,高中数学:了解幂函数上增

高中数学:了解幂函数上增

高中数学:了解幂函数上增

高中数学:了解幂函数高中数学:了解幂函数上分别减

定点

高中数学:了解幂函数高中数学:了解幂函数

高中数学:了解幂函数

结合以上特征得幂函数的性质如下:

(1)所有的幂函数在高中数学:了解幂函数上都有定义,并且图象都过点高中数学:了解幂函数

(2)如果高中数学:了解幂函数,则幂函数的图象过点高中数学:了解幂函数高中数学:了解幂函数,并且在区间高中数学:了解幂函数上是增函数;

(3)如果高中数学:了解幂函数,则幂函数的图象过点高中数学:了解幂函数,并在区间高中数学:了解幂函数上是减函数。在第一象限内,当高中数学:了解幂函数高中数学:了解幂函数趋向于原点时,图象在高中数学:了解幂函数轴右方无限地逼近高中数学:了解幂函数轴,当高中数学:了解幂函数趋于高中数学:了解幂函数时,图象在高中数学:了解幂函数轴上方无限地逼近高中数学:了解幂函数轴;

(4)当高中数学:了解幂函数为奇数时,幂函数为奇函数;当高中数学:了解幂函数为偶数时,幂函数为偶函数。

例2:比较高中数学:了解幂函数高中数学:了解幂函数高中数学:了解幂函数的大小。

思路分析:先利用幂函数高中数学:了解幂函数的增减性比较高中数学:了解幂函数高中数学:了解幂函数的大小,再根据幂函数的图象比较高中数学:了解幂函数高中数学:了解幂函数的大小。

解答过程:高中数学:了解幂函数高中数学:了解幂函数

高中数学:了解幂函数高中数学:了解幂函数上单调递增,且高中数学:了解幂函数

高中数学:了解幂函数。故高中数学:了解幂函数

解题后的思考:观察和分析数据的特点,然后正确选择函数模型是解决此类问题的关键。

例3:若函数高中数学:了解幂函数在区间高中数学:了解幂函数上是递减函数,求实数m的取值范围。

思路分析:本题考查简单幂函数的性质以及函数图象的平移问题。

解答过程:由于高中数学:了解幂函数,所以函数高中数学:了解幂函数的图象是由幂函数高中数学:了解幂函数的图象先向右平移2个单位,再向上平移3个单位得到的,所以其图象如图所示。

高中数学:了解幂函数

其单调递减区间是高中数学:了解幂函数高中数学:了解幂函数,而函数高中数学:了解幂函数在区间高中数学:了解幂函数上是递减函数,所以应有高中数学:了解幂函数

解题后的思考:函数高中数学:了解幂函数是一个比较常用的幂函数,它也叫做反比例函数,其定义域是高中数学:了解幂函数,是一个奇函数,对称中心为(0,0),在高中数学:了解幂函数高中数学:了解幂函数上都是递减函数。一般地,形如高中数学:了解幂函数的函数都可以通过对高中数学:了解幂函数的图象进行变换而得到,所以这些函数的性质都可以借助高中数学:了解幂函数的性质来得到。

例4:若点高中数学:了解幂函数在幂函数高中数学:了解幂函数的图象上,点高中数学:了解幂函数在幂函数高中数学:了解幂函数的图象上,定义高中数学:了解幂函数,试求函数高中数学:了解幂函数的最大值及其单调区间。

思路分析:首先根据幂函数的定义求出高中数学:了解幂函数,然后在同一坐标系下画出函数高中数学:了解幂函数高中数学:了解幂函数的图象,得出高中数学:了解幂函数的函数图象,最后根据图象求出最大值和单调区间。

解答过程:设高中数学:了解幂函数,因为点高中数学:了解幂函数高中数学:了解幂函数的图象上,所以高中数学:了解幂函数,所以高中数学:了解幂函数,即高中数学:了解幂函数

又设高中数学:了解幂函数,点高中数学:了解幂函数高中数学:了解幂函数的图象上,所以高中数学:了解幂函数,所以高中数学:了解幂函数,即高中数学:了解幂函数

在同一坐标系下画出函数高中数学:了解幂函数高中数学:了解幂函数的图象,如图所示,则有

高中数学:了解幂函数

高中数学:了解幂函数

根据图象可知函数高中数学:了解幂函数的最大值等于高中数学:了解幂函数,其单调递增区间是(高中数学:了解幂函数,-1)和(0,1);单调递减区间是高中数学:了解幂函数高中数学:了解幂函数

解题后的思考:本题在两个函数高中数学:了解幂函数高中数学:了解幂函数的基础上定义了一个新的函数高中数学:了解幂函数高中数学:了解幂函数的实质是取高中数学:了解幂函数高中数学:了解幂函数中的较小者,这类问题应借助图象来解决,不但直观形象,且其最值和单调区间亦容易求出,所以要重视数形结合思想的运用。

例5:已知幂函数高中数学:了解幂函数高中数学:了解幂函数是偶函数,且在高中数学:了解幂函数上是减函数,求函数高中数学:了解幂函数的解析式,并讨论高中数学:了解幂函数的奇偶性。

思路分析:先根据单调性求出m的取值范围,再由奇偶性进一步确定m的取值。讨论高中数学:了解幂函数的奇偶性时要注意对字母的讨论。

解答过程:由高中数学:了解幂函数高中数学:了解幂函数上是减函数得高中数学:了解幂函数高中数学:了解幂函数。∵高中数学:了解幂函数高中数学:了解幂函数0,1。

又因为高中数学:了解幂函数是偶函数,∴只有当高中数学:了解幂函数时符合题意,故高中数学:了解幂函数

于是高中数学:了解幂函数高中数学:了解幂函数

高中数学:了解幂函数高中数学:了解幂函数时,高中数学:了解幂函数为非奇非偶函数;

高中数学:了解幂函数高中数学:了解幂函数时,高中数学:了解幂函数为奇函数;

高中数学:了解幂函数高中数学:了解幂函数时,高中数学:了解幂函数为偶函数;

高中数学:了解幂函数高中数学:了解幂函数时,高中数学:了解幂函数为既奇又偶函数。

解题后的思考:本题利用幂函数的定义和性质来求解函数的解析式,根据函数奇偶性的定义讨论其奇偶性。

例6:已知幂函数高中数学:了解幂函数高中数学:了解幂函数上是增函数,且在定义域上是偶函数。

(1)求高中数学:了解幂函数的值,并写出相应的函数高中数学:了解幂函数的解析式;

(2)对于(1)中求得的函数高中数学:了解幂函数,设函数高中数学:了解幂函数。问是否存在实数高中数学:了解幂函数,使得函数高中数学:了解幂函数在区间高中数学:了解幂函数上是减函数,且在区间高中数学:了解幂函数上是增函数?若存在,请求出高中数学:了解幂函数的值;若不存在,请说明理由。

思路分析:第一问先根据单调性求出高中数学:了解幂函数的取值范围,再由奇偶性进一步确定高中数学:了解幂函数的取值。第二问可根据复合函数单调性的规律来解。

解答过程:(1)∵幂函数高中数学:了解幂函数高中数学:了解幂函数上是增函数,∴高中数学:了解幂函数高中数学:了解幂函数

高中数学:了解幂函数,∴高中数学:了解幂函数

高中数学:了解幂函数在定义域上是偶函数,∴只有当高中数学:了解幂函数时符合题意,故高中数学:了解幂函数

(2)由高中数学:了解幂函数,则高中数学:了解幂函数

假设存在实数高中数学:了解幂函数,使得高中数学:了解幂函数满足题设条件。令高中数学:了解幂函数,则高中数学:了解幂函数

高中数学:了解幂函数高中数学:了解幂函数上是减函数,∴当高中数学:了解幂函数时,高中数学:了解幂函数;当高中数学:了解幂函数时,高中数学:了解幂函数

高中数学:了解幂函数在区间高中数学:了解幂函数上是减函数,且在区间高中数学:了解幂函数上是增函数,则高中数学:了解幂函数高中数学:了解幂函数上是减函数,且在高中数学:了解幂函数上是增函数,此时二次函数高中数学:了解幂函数的对称轴方程是高中数学:了解幂函数高中数学:了解幂函数

高中数学:了解幂函数

故存在实数高中数学:了解幂函数,使得函数高中数学:了解幂函数在区间高中数学:了解幂函数上是减函数,且在区间高中数学:了解幂函数上是增函数。

解题后的思考:本题是一道综合题,考查幂函数性质的综合应用。尤其是第二问,内外两个函数的单调性都比较复杂,存在多个单调区间,分析起来也比较复杂,可借助表格来协助分析。

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